domingo, 12 de marzo de 2017

UNO, DOS Y TRES INDIECITOS

“Compañera usted sabe 
puede contar conmigo 
no hasta dos o hasta diez 
sino contar conmigo"

     Hagamos un trato / Mario Benedetti



Dado que algunos hacemos de la procastinación un arte, han pasado dos años y medio del último post de este blog, al que ya aquello de "en constante actualización" que se puede leer por aquí a la derecha le queda un poco grande. Pero mas allá de la discontinuación, nadie puede negar que la coherencia se mantiene. Y es por eso que, los siguientes posteos, saldarán la deuda de la explicación final del Mensaje de Arecibo. Por aquí abajo podrán leer los dos post previos en donde se introduce al tema, así que sería bueno releerlos para ponernos en climax.
Primero que nada, hay que saber que este mensaje fue enviado por medio de ondas de radio de frecuencia modulada. El mensaje está compuesto por 1679 bits (entre unos y ceros). Para que el mensaje cobre sentido, ya que de primera mano lo que recibiríamos sería una linea continua de 1679 unos y ceros, debemos encontrar que propiedad especial tiene este número. 1679 se trata de un número semiprimo, es decir, el producto de multiplicar dos números primos. Recordemos que los números primos son aquellos que sólo pueden dividirse por uno y por ellos mismos (por ej 2, 3 , 5, 7, 11, etc...). Esto simplifica la tarea de encontrar los submúltiplos de este número, ya que son únicamente dos: el 23 y el 73 (bueno, también el 1, pero en este caso no nos sirve de nada). Es decir que, después de algunas pruebas podríamos ordenar el mensaje en 23 columnas y 73 filas, lo que daría como resultado la imagen completa que podemos ver en el post anterior.
En este caso vamos a encargarnos de dilucidar la primer parte del mensaje, en la que se encuentran los números del uno al diez, a modo de representación del sistema decimal usado por el ser humano. Si revisamos el post anterior, recordaremos la forma de pasar un numero de formato binario a decimal, así que, suponiendo que ya están al tanto de eso, pasamos a traducir lo siguiente:




Primeramente debemos saber que los unos y ceros de la línea inferior no son parte de los números sino que marcan el fin de cada uno. Por una cuestión de espacio, los números del 1 al 7 ocupan una sola columna, pero los restantes ocupan 2. Para facilitar la lectura, pinté ligeramente los números a utilizar. La misma debe realizarse de arriba hacia abajo y en el caso de los números con dos columnas (8, 9 y 10), primero la columna derecha y luego la izquierda (recordemos que la línea inferior de unos marca el fin de los numeros). Entonces, comenzando desde la izquierda tenemos:

001 = 1
010 = 2
011 = 3
100 = 4
101 = 5
110 = 6
111 = 7
001000 = 8
001001 = 9
001010 = 10
En los últimos tres casos podríamos eliminar los ceros a la izquierda, obteniendo los mismos resultados.
No está de mas aclarar el motivo por el cual se eligió incluir el sistema decimal, característico de nuestra especie por su practicidad y compatibilidad teniendo en cuenta algo tan simple como la cantidad de dedos que tenemos en las manos. Esto no significa que este sistema sea el mejor que podríamos usar ni el tampoco el único que usamos. De hecho, según el ámbito, también utilizamos otros sistemas, como por ejemplo el duodecimal a la hora de ciertas operaciones comerciales. Nuestro sistema decimal no tiene nada de especial ni fundacional, de hecho, si tomamos el post anterior, cuando expliqué el sistema binario, un sistema de base 2, y reemplazamos el 2 por el 10, nos damos cuenta que sólo cambiando la base tenemos un sistema completamente nuevo. Para ponerlo claro, recuerden como llegábamos a la versión binaria de un número decimal. Vamos a tomar como ejemplo en n° 2000:

2000   dividido 2 es 1000, resto 0
1000   dividido 2 es   500, resto 0
  500   dividido 2 es   250, resto 0
  250   dividido 2 es   125, resto 0
  125   dividido 2 es     62, resto 1
    62   dividido 2 es     31, resto 0
    31   dividido 2 es     15, resto 1
    15   dividido 2 es       7, resto 1
      7   dividido 2 es       3, resto 1  
      3   dividido 2 es       1, resto 1 
      1   dividido 2 es       0, resto 1         

2000 entonces en sistema binario se escribe 11111010000

Ahora bien, podríamos utilizar un sistema de base 3:

2000   dividido 3 es   666, resto 2
  666   dividido 3 es   222, resto 0
  222   dividido 3 es     74, resto 0
    74   dividido 3 es     24, resto 2
    24   dividido 3 es       8, resto 0
      8   dividido 3 es       2, resto 2
      2  dividido  3 es       0, resto 2

   
2000 en un sistema de base 3 entonces es 2202002

Bien, así podríamos seguir con los números siguientes, de hecho algunas personas creen que si usáramos el sistema octal tendríamos un mejor entendimiento de las computadoras, pero eso es tema de otro post. Intentemos ahora escribir 2000 en base 10:
2000   dividido 10 es  200, resto 0
  200   dividido 10 es    20, resto 0
    20   dividido 10 es      2, resto 0
      2   dividido 10 es      0, resto 2


Está claro, ¿No? 2000 en sistema decimal se escribe... 2000. Ahora comprendemos mejor por qué el sistema elegido no tiene nada especial, fundacional u originario. Es simplemente el sistema que mejor se lleva con nuestra cantidad de dedos, los cuales utilizábamos en un principio para hacer la mayoría de las cuentas, tanto en nuestra infancia como individuos como en nuestra infancia como especie.
Saludos y nos leemos la próxima, en menos de dos años y medio, para seguir descifrando el mensaje de Arecibo.


Facundo

domingo, 14 de septiembre de 2014

ES LA SOLEDAD AL CUADRADO

“Entre la nuit, 
la nuit et l'aurore. 
Entre les royaumes, 
des vivants et des morts."

     Reflektor / Arcade Fire


Continuando con el post anterior y para aprender a leer el mensaje, vamos a por la receta base: El sistema binario. Muchos sabrán que es el lenguaje de unos y ceros que manejan las computadoras, pero no más que eso. Ahora, si me permiten, vamos a profundizar para entender. Lo primero de todo, recomiendo que, al igual que sucede con las alturas, NO MIREN HACIA ABAJO. Es decir, no chusmeen cuan largo es el post o cuantos numeritos aparecen para decir "bah" y abandonar. Estudios científicos de la Universidad de (ponga aquí el nombre de algún establecimiento educativo prestigioso) confirman que el placer sentido por entender un hecho matemático es similar al provocado por la ingesta de un pedazo de buen chocolate, con la evidente ventaja que a diferencia del cacao, los números no engordan! 
Para hablar de números y que no se aburran, espanten o huyan nada mejor que hacer la gran Paenza: "Les vengo a proponer un juego matemático...". Supongamos que de pronto, en un horrible y lejano país, a un rey déspota y cruel se le ocurre poner un impuesto al número. Cada número distinto utilizado tendrá un costo, es decir, cuantos más utilicemos, mas dolor de bolsillo. La única salvedad consiste en que el uso repetido del mismo número no es cobrado cada vez, no importa cuantas veces lo repitamos. Es decir, suponiendo que nos cobran un peso por cada número, escribir 12345 nos costará cinco pesos, pero escribir 22222 sólo nos costará uno. Bien, habiendo puesto esta regla, continuamos. Sabemos que el uso de los números es vital en nuestro día a día, por eso nos damos cuenta que si continuáramos usándolos como hasta ahora, no nos alcanzaría la plata ni para comprar un chupetín. Haciendo cuentas, llegamos a la conclusión que sólo deberíamos asignar dos pesos por día al uso de números si queremos seguir viviendo dignamente bajo un techo, con dos comidas diarias y sentados frente a nuestra tele viendo Breaking Bad por decimoquinta vez... 
Dos pesos es el límite. Entonces, vamos a tener que utilizar sólo dos números para expresar todos los demás. Con este jueguito ficticio en mente, empiezo a describir lo que de otra manera hubiera sonado probablemente demasiado arbitrario. Supongamos en principio que debemos llegar a contar hasta diez eliminando números innecesarios, pero sin repetir ninguno de los que quedan. El 1 si o si debe estar, porque es la única manera de contar 1. Lo mismo sucede con 2, ya que no podemos usar 1 + 1. En cambio 3 puede ser eliminado, ya que usamos 1 + 2. Seguimos, 4 es obligado, pero 5 no, ya que podemos usar 4 + 1. Lo mismo sucede con 6 (4 + 2) y con 7 (4 + 2 + 1). Pero llegando a 8, otra vez, no podemos prescindir de él. Si seguimos, nos damos cuenta que sí podemos evitar el 9 (8 + 1) y 10 (8+2). Si pasamos la barrera de los 10, veremos que 11 (8+ 2 + 1), 12 (8 + 4), 13 (8 + 4 + 1), 14 (8 + 4 + 2) y 15 (8 + 4 + 2 + 1) también pueden evitarse. 16 en cambio, no, así que tenemos que incluirlo. Entonces repasamos, ¿Cuáles nos quedan hasta ahora? 1, 2, 4, 8, 16. Es obvio lo que está pasando, cada número es el doble del anterior, este patrón nos ayuda a evitar el paso a paso. Ahora sabemos que 17,18,19 y así hasta el 31 pueden representarse usando sólo esos primeros 5 números. 32, el doble de 16, no puede evitarse. Tampoco 64, 128, 256, 512 o 1024. Por cada número que agreguemos, sabemos que podremos llegar a contar hasta el doble del mayor menos uno. Es decir, si utilizamos 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512 y 1024 podremos llegar a sumar cómo máximo 2047. 
Bien, esto no nos está ahorrando demasiado, seguimos utilizando muchos números y el gasto sería muy superior a los dos pesos diarios, pero estamos encaminados, créanme. Si vemos ese listado de números que nos quedaron y recordamos algo de aquél flagelo de la juventud llamado potenciación, sabremos que todos son cuadrados de 2. Es decir 2x1 es 2, 2x2 es 4, 2x2x2 es 8 y así sucesivamente. Esto significaría que podemos reemplazar esa secuencia de números con la que sigue: 

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29

Nos faltaría representar el 1. Si recordamos, alguna vez nos dijeron que cualquier número elevado a la cero, es igual a uno, entonces, acá van todos, hasta 512 para no hacer muy largo el asunto, aclarando a quién representan:

20,21, 22, 23, 24, 25,   26,   27,    28,    29 
1  2    4   8   16  32   64    128   256   512 

Entonces, usando sólo el dos, elevado a la potencia correspondiente (hasta 9) , podemos representar cualquier número del 1 al 1023. Por ejemplo, si queremos llegar a 100, sumamos 64 + 32 + 4, o sea 26 + 25 + 22
Bien, seguimos usando muchos números (en las potencias), por lo que todavía nos falta para llegar al objetivo, aunque estamos más cerca. Vamos a hacer algo totalmente engorroso y aparentemente inútil para llegar a algo simple y bello. Para representar a cada número que nos pidan, vamos a sumar la lista completa de los 2 elevados, indicando cual usamos y cual no. Es decir, si queremos representar 100 ya sabemos cuales son las 3 potencias de 2 que tenemos que usar, entonces esas las multiplicamos por 1 y las que no usamos la multiplicamos por 0. Sencillo. Usando x como signo de multiplicación y ordenados de mayor a menor para que funcione el truco, nos quedaría este choclo matemático: 

29x 0 + 28x0 + 27x 0 + 26x 1 + 25x 1 + 24x 0 + 23x 0 + 22x 1 + 21x 0 + 20x 0 = 100 


Conociendo la lista de potencias de dos que usamos, podríamos prescindir de ella y escribir sólo los ceros y los unos, ¿no? 0001100100 entonces representa a 100. Pueden probar con otros números , por ejemplo, ya sabemos que si sumábamos todos llegábamos a 1023, entonces, para representarlo sería 1111111111
Hay una forma muy fácil para hacer el camino inverso y conocer la versión binaria de cada número. Sólo debemos dividir el numero y sus cocientes seguidamente por dos hasta llegar a cero e ir anotando los restos a un costado. Usemos de nuevo el 100, ya que sabemos su resultado: 

100 dividido 2 es 50, resto 0 
50   dividido 2 es 25, resto 0 
25   dividido 2 es 12, resto 1 
12   dividido 2 es   6, resto 0 
6     dividido 2 es   3, resto 0 
3     dividido 2 es   1, resto 1 
1     dividido 2 es   0, resto 1 

Tenemos que anotar de atrás hacia adelante los restos de la derecha: 1100100 Si se fijan el número que nos había dado antes y lo ven distinto no se alarmen, sólo hay que eliminar los ceros a la izquierda del primer 1 y queda igual. En este sistema tampoco valen los ceros a la izquierda. Ok, ya resolvimos nuestro problema financiero en el país ficticio con el rey déspota, pero yendo a los asuntos que nos conciernen en el mundo real, ¿Qué tiene que ver esto con el mensaje de mi tatuaje o las computadoras? Simple, un sistema que sólo maneja dos dígitos puede simplemente usar llaves que están encendidas o apagadas para representar la información. Por ejemplo 1 encendido, 0 apagado. Simplificando de esta manera la información, es fácil para una máquina sin corazón ni cerebro, procesarla y reproducirla. Lo mismo sucede con el tatuaje, si lo vemos de esta manera, 1 negro, 0 blanco, el dibujo quedaría como la imagen que vemos a continuación:

Imagen obtenida de http://asterion.almadark.com


Ya sabemos por qué el sistema binario puede representar lo que está pintado y lo que no, pero en el próximo post vamos a ver qué significa cada símbolo, y para eso también nos van a ayudar lo simpáticos unos y ceros. 


Saludos


Facundo