domingo, 14 de septiembre de 2014

ES LA SOLEDAD AL CUADRADO

“Entre la nuit, 
la nuit et l'aurore. 
Entre les royaumes, 
des vivants et des morts."

     Reflektor / Arcade Fire


Continuando con el post anterior y para aprender a leer el mensaje, vamos a por la receta base: El sistema binario. Muchos sabrán que es el lenguaje de unos y ceros que manejan las computadoras, pero no más que eso. Ahora, si me permiten, vamos a profundizar para entender. Lo primero de todo, recomiendo que, al igual que sucede con las alturas, NO MIREN HACIA ABAJO. Es decir, no chusmeen cuan largo es el post o cuantos numeritos aparecen para decir "bah" y abandonar. Estudios científicos de la Universidad de (ponga aquí el nombre de algún establecimiento educativo prestigioso) confirman que el placer sentido por entender un hecho matemático es similar al provocado por la ingesta de un pedazo de buen chocolate, con la evidente ventaja que a diferencia del cacao, los números no engordan! 
Para hablar de números y que no se aburran, espanten o huyan nada mejor que hacer la gran Paenza: "Les vengo a proponer un juego matemático...". Supongamos que de pronto, en un horrible y lejano país, a un rey déspota y cruel se le ocurre poner un impuesto al número. Cada número distinto utilizado tendrá un costo, es decir, cuantos más utilicemos, mas dolor de bolsillo. La única salvedad consiste en que el uso repetido del mismo número no es cobrado cada vez, no importa cuantas veces lo repitamos. Es decir, suponiendo que nos cobran un peso por cada número, escribir 12345 nos costará cinco pesos, pero escribir 22222 sólo nos costará uno. Bien, habiendo puesto esta regla, continuamos. Sabemos que el uso de los números es vital en nuestro día a día, por eso nos damos cuenta que si continuáramos usándolos como hasta ahora, no nos alcanzaría la plata ni para comprar un chupetín. Haciendo cuentas, llegamos a la conclusión que sólo deberíamos asignar dos pesos por día al uso de números si queremos seguir viviendo dignamente bajo un techo, con dos comidas diarias y sentados frente a nuestra tele viendo Breaking Bad por decimoquinta vez... 
Dos pesos es el límite. Entonces, vamos a tener que utilizar sólo dos números para expresar todos los demás. Con este jueguito ficticio en mente, empiezo a describir lo que de otra manera hubiera sonado probablemente demasiado arbitrario. Supongamos en principio que debemos llegar a contar hasta diez eliminando números innecesarios, pero sin repetir ninguno de los que quedan. El 1 si o si debe estar, porque es la única manera de contar 1. Lo mismo sucede con 2, ya que no podemos usar 1 + 1. En cambio 3 puede ser eliminado, ya que usamos 1 + 2. Seguimos, 4 es obligado, pero 5 no, ya que podemos usar 4 + 1. Lo mismo sucede con 6 (4 + 2) y con 7 (4 + 2 + 1). Pero llegando a 8, otra vez, no podemos prescindir de él. Si seguimos, nos damos cuenta que sí podemos evitar el 9 (8 + 1) y 10 (8+2). Si pasamos la barrera de los 10, veremos que 11 (8+ 2 + 1), 12 (8 + 4), 13 (8 + 4 + 1), 14 (8 + 4 + 2) y 15 (8 + 4 + 2 + 1) también pueden evitarse. 16 en cambio, no, así que tenemos que incluirlo. Entonces repasamos, ¿Cuáles nos quedan hasta ahora? 1, 2, 4, 8, 16. Es obvio lo que está pasando, cada número es el doble del anterior, este patrón nos ayuda a evitar el paso a paso. Ahora sabemos que 17,18,19 y así hasta el 31 pueden representarse usando sólo esos primeros 5 números. 32, el doble de 16, no puede evitarse. Tampoco 64, 128, 256, 512 o 1024. Por cada número que agreguemos, sabemos que podremos llegar a contar hasta el doble del mayor menos uno. Es decir, si utilizamos 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512 y 1024 podremos llegar a sumar cómo máximo 2047. 
Bien, esto no nos está ahorrando demasiado, seguimos utilizando muchos números y el gasto sería muy superior a los dos pesos diarios, pero estamos encaminados, créanme. Si vemos ese listado de números que nos quedaron y recordamos algo de aquél flagelo de la juventud llamado potenciación, sabremos que todos son cuadrados de 2. Es decir 2x1 es 2, 2x2 es 4, 2x2x2 es 8 y así sucesivamente. Esto significaría que podemos reemplazar esa secuencia de números con la que sigue: 

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29

Nos faltaría representar el 1. Si recordamos, alguna vez nos dijeron que cualquier número elevado a la cero, es igual a uno, entonces, acá van todos, hasta 512 para no hacer muy largo el asunto, aclarando a quién representan:

20,21, 22, 23, 24, 25,   26,   27,    28,    29 
1  2    4   8   16  32   64    128   256   512 

Entonces, usando sólo el dos, elevado a la potencia correspondiente (hasta 9) , podemos representar cualquier número del 1 al 1023. Por ejemplo, si queremos llegar a 100, sumamos 64 + 32 + 4, o sea 26 + 25 + 22
Bien, seguimos usando muchos números (en las potencias), por lo que todavía nos falta para llegar al objetivo, aunque estamos más cerca. Vamos a hacer algo totalmente engorroso y aparentemente inútil para llegar a algo simple y bello. Para representar a cada número que nos pidan, vamos a sumar la lista completa de los 2 elevados, indicando cual usamos y cual no. Es decir, si queremos representar 100 ya sabemos cuales son las 3 potencias de 2 que tenemos que usar, entonces esas las multiplicamos por 1 y las que no usamos la multiplicamos por 0. Sencillo. Usando x como signo de multiplicación y ordenados de mayor a menor para que funcione el truco, nos quedaría este choclo matemático: 

29x 0 + 28x0 + 27x 0 + 26x 1 + 25x 1 + 24x 0 + 23x 0 + 22x 1 + 21x 0 + 20x 0 = 100 


Conociendo la lista de potencias de dos que usamos, podríamos prescindir de ella y escribir sólo los ceros y los unos, ¿no? 0001100100 entonces representa a 100. Pueden probar con otros números , por ejemplo, ya sabemos que si sumábamos todos llegábamos a 1023, entonces, para representarlo sería 1111111111
Hay una forma muy fácil para hacer el camino inverso y conocer la versión binaria de cada número. Sólo debemos dividir el numero y sus cocientes seguidamente por dos hasta llegar a cero e ir anotando los restos a un costado. Usemos de nuevo el 100, ya que sabemos su resultado: 

100 dividido 2 es 50, resto 0 
50   dividido 2 es 25, resto 0 
25   dividido 2 es 12, resto 1 
12   dividido 2 es   6, resto 0 
6     dividido 2 es   3, resto 0 
3     dividido 2 es   1, resto 1 
1     dividido 2 es   0, resto 1 

Tenemos que anotar de atrás hacia adelante los restos de la derecha: 1100100 Si se fijan el número que nos había dado antes y lo ven distinto no se alarmen, sólo hay que eliminar los ceros a la izquierda del primer 1 y queda igual. En este sistema tampoco valen los ceros a la izquierda. Ok, ya resolvimos nuestro problema financiero en el país ficticio con el rey déspota, pero yendo a los asuntos que nos conciernen en el mundo real, ¿Qué tiene que ver esto con el mensaje de mi tatuaje o las computadoras? Simple, un sistema que sólo maneja dos dígitos puede simplemente usar llaves que están encendidas o apagadas para representar la información. Por ejemplo 1 encendido, 0 apagado. Simplificando de esta manera la información, es fácil para una máquina sin corazón ni cerebro, procesarla y reproducirla. Lo mismo sucede con el tatuaje, si lo vemos de esta manera, 1 negro, 0 blanco, el dibujo quedaría como la imagen que vemos a continuación:

Imagen obtenida de http://asterion.almadark.com


Ya sabemos por qué el sistema binario puede representar lo que está pintado y lo que no, pero en el próximo post vamos a ver qué significa cada símbolo, y para eso también nos van a ayudar lo simpáticos unos y ceros. 


Saludos


Facundo 


6 comentarios:

Laura dijo...

Facu genial tu explicación! ! Hasta yo lo entendí, tengo un serio problema con matemáticas. ... Genio Total!

Marcelo Alonso dijo...

Oiga, porqué no se puede armar 16, por ejwmplo??

Facundo dijo...

Marce, porque hasta ese momento sólo podés usar 1,2,4 y 8. No podes usar cada uno mas de una vez, por lo tanto si sumás todos llegás sólo a 15.

Laura, gracias! es la intención!

Kevin dijo...

Buena información y bien explicado!

luz dijo...

pregunta, habiendo leido los dos post anteriores, aun nos debes el que nos expliques de que se trata el mensaje de tu tattoooo sobre la informacion tan vitalmente importante sobre la raza humana que, dicho de paso, dentro de 50 mil años dudo que quede alguno para recibir la respuesta!

Emilio David Rodríguez Amigo dijo...

¡Hola! No sabía muy bien cómo contactar con ustedes, así que me decidí a poner un comentario por aquí. Me presento: soy Emilio David Rodríguez y estaba buscando la serie Cosmos, la nueva, la de Neil deGrasse Tyson. Encontré un canal de Vimeo llamado "El replicador de sueños", con todos los vídeos en inglés, con subtítulos en español. ¡Era perfecto! Pero faltaba un vídeo: el primero, que lo habían quitado los de Vimeo. Me gustaría pedirles ese vídeo si aún lo tienen, si lo pueden volver a subir o si me lo pudieran hacer llegar de alguna manera... estaría completamente agradecido. Pertenezco a una asociación juvenil de divulgación científica y esos vídeos nos serían muy útiles para compartir con la gente interesada.
Por cierto, la entrada en la que publico este comentario, me ha gustado mucho, ya conocía el tema, pero me encanta el enfoque que se le ha dado en este blog.
¡Que tengan un día genial!